5. Funciones Exponenciales y Logarítmicas

 

 Funciones Exponenciales y Logarítmicas

Función exponencial: Se expresa como $f(x)=a^x$ (comúnmente $e^x$ para la base $e \approx 2.718$), y muestra un crecimiento (o decrecimiento) rápido.

Cuando 𝑎 > 1, la función exponencial crece a medida que x aumenta → función creciente. 

Cuando 0 < 𝑎 < 1, la función decrece a medida que 𝑥 aumenta → función decreciente. 

 ■ No obstante, es importante tener en cuenta si tenemos un signo - delante del valor de 𝑎 en la función. Si esto ocurre la función cambia de creciente a decreciente y viceversa. 

Función logarítmica: Es la inversa de la función exponencial y se expresa como $f(x)=\log_a(x)$; en particular, el logaritmo natural es $\ln (x)$

La base 𝑎 debe ser positiva para que el logaritmo esté bien definido. 

• Si 𝑎 fuera negativa, elevar 𝑎 a un exponente fraccionario o irracional no siempre estaría bien definido en el conjunto de los números reales. 
•  Además el valor de 𝑎 no puede ser 1 ya que la función logarítmica perdería su significado.

Ejemplo paso a paso (Función Exponencial):
Calcule $f(x)=2^x$ para $x=3$

Paso 1: Sustituya: $f(3)=2^3$

Paso 2: Calcule $2^3 = 8$

Paso 3: Concluya: La función $2^x$ produce 8 cuando $x=\mathrm{3 }$

Ejemplo paso a paso (Función Logarítmica):
Calcule ln⁡ (20) para estimar el exponente al que debe elevarse e para obtener 20.

Paso 1: Utilice una calculadora o tabla: $\ln(20) \approx 2.9957$

Paso 2: Concluya: $e^{2.9957}\approx 20$

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Fisicalab: Este simulador te permite representar gráficamente funciones exponenciales y logarítmicas, y estudiar sus propiedades. Puedes modificar los coeficientes de las funciones y observar cómo cambian sus gráficas en tiempo real. Además, facilita la comprensión de la relación entre funciones inversas, mostrando la simetría respecto a la recta y=x.