1. Factorización

La factorización es el proceso de descomponer una expresión algebraica en productos de factores más simples. Es útil para simplificar ecuaciones y resolver problemas algebraicos.

Existen diversos casos de factorización, y esto es acorde a las características de la expresión algebraica, por ejemplo, el número de términos. Estas técnicas de factorización se derivan del desarrollo de los productos notables.

La factorización es un proceso matemático muy relevante ya que con él puedes resolver ecuaciones de segundo grado. También puedes determinar raíces de polinomios (es decir donde la gráfica se interseca con el eje$$\mathrm{<span\; style="color:\; white;"><span\; style="font-family:\; helvetica;">X</span><span\; style="font-size:\; 16.8px;\; text-align:\; left;"><span\; style="font-family:\; helvetica;">Es\; muy\; útil\; para\; identificar\; y\; obtener\; las\; características\; de\; lugares\; geométricos\; y\; es\; vital \; para\; el\; estudio\; del\; cálculo\; diferencial\; e\; integral,\; entre\; otras.\; Por\; ello,\; dentro\; de\; la\; matemática\; aprender\; a\; factorizar\; correctamente\; será\; de\; gran\; utilidad\; para\; que\; puedas\; aprender\; diversos\; temas\; matemáticos\; y\; aplicarlos\; a\; situaciones\; cotidianas.</span></span></span>}$$

Las factorizaciones que se abordarán en este capítulo son:

• Factorización por máximo factor común.
• Un factor común, es un término algebraico que puede dividir  de forma exacta a cada uno de los términos de una expresión algebraica. En una expresión algebraica pueden existir muchos factores comunes pero sólo existe un máximo factor común.
• Factorización de una diferencia de cuadrados.

• La diferencia de cuadrados se presenta cuando una expresión algebraica tiene la forma:

  $$a^2-b^2$$

  Esta se puede factorizar utilizando la identidad:

  $$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$$

  Ejemplo: Factorizar $x^2 - 9$
  

  1. Identificamos los términos cuadrados: $x^2$ es el cuadrado de $x$, y $9$ es el cuadrado de $3$.
  2. Aplicamos la fórmula:
  $$x^2-9=(x-3)(x+3)$$
• Factorización de una suma o diferencia de cubos.

• Para la suma de cubos:

  $$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$$

  Para la diferencia de cubos:

  $$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$$

  Ejemplo: Factorizar $x^3 + 8$
  

  1. Identificamos los términos cúbicos: $x^3$ es el cubo de $x$, y $8$ es el cubo de $2$.
  2. Aplicamos la fórmula de la suma de cubos:
  $$x^3+8=(x+2)(x^2-2x+4)$$
• Factorización de Trinomio de la forma  x² + bx + c

• Este tipo de trinomios tiene la forma:

  $$x^2+bx+c$$

  Se busca dos números que sumen $b$ y que su producto sea $c$.

  Ejemplo: Factorizar $x^2 + 5x + 6$
  

  1. Buscamos dos números que sumen $\mathrm{5\; y\; cuyo\; producto\; sea }$$6$. Estos números son $2$ y $3$.
  2. Se escribe la factorización:
  $$x^2+5x+6=(x+2)(x+3)$$
• Factorización de Trinomio de la forma  ax² + bx + c

• Este caso ocurre cuando el coeficiente del término cuadrático $a$ es diferente de 1.

  Ejemplo: Factorizar $2x^2 + 7x + 3$
  

  1. Buscamos dos números que sumen $7$ y que multiplicados den $2 \times 3 = 6$. Estos números son $6$ y $1$.
  2. Descomponemos el término del medio:
  $$2x^2+6x+x+3$$
  3. Agrupamos y factorizamos por separado:
  $$(2x^2 + 6x) + (x + 3)$$
  $$2x(x + 3) + 1(x + 3)$$
  $$(2x + 1)(x + 3)$$
  

• Factorización de un trinomio al cuadrado perfecto.

• Un trinomio es un cuadrado perfecto si se puede escribir como el cuadrado de un binomio. Tiene la forma:

  $$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$$
  $$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$$
  

  Ejemplo: Factorizar $x^2 + 6x + 9$

  1. Identificamos $x^2$ como el cuadrado de $x$ y $9$ como el cuadrado de $3$.
  2. Observamos que $6x$ es el doble producto de $x$ y $3$.
  3. Se escribe la factorización:

  $$(x+3{)}^2$$

• • En el siguiente vídeo podrás ver  cómo se obtienen las siguientes factorizaciones: 

Juegos sugerido para poner en practica lo aprendido: